KaiObis Blog

So kann mans auch sehen…

Kategorie-Archiv: Stochastik

Netzfundstück: Dinge, die man im Lehramtsstudium lernt.

Der Graphitti-Blog begeistert mich schon seit einer Weile. Er präsentiert recht lustige Statistiken, meist in Kuchendiagrammen oder ähnlichem, bei denen man sich regelmäßig bei dem Gedanken „Stimmt irgendwie.“ erwischt.

Sehr passend finde ich das heutige Diagramm zum Thema Wissensvermittlung im Lehramtsstudium. Wenn wir ehrlich sind, vermittelt die Uni uns vor allem eines: Unmengen von Wissen, was wir dem Schüler eh nie beibringen werden, weil die Zeit nicht reicht. Die didaktischen Konzepte sind meist gut, letztendlich kommt es aber immer darauf an, wie man sich vor dem Schüler profiliert – und bei möglichen Wissenslücken nicht ins Schwitzen oder schlimmer, ins Stottern, gerät.

Graphittiblog Lehramtsstudium

Herzlichen Dank an den Graphitti-Blog für ein neues "Stimmt"-Gefühl.

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Netzfundstück: Statistik selbst gemacht II

Mal wieder ein feines Netzfundstück zur Statistik. Heute: Balkendiagramme.

Angefangen bei den Boxplot-Diagrammen, die man grob mit der Einführung der Stochastik in der 7. Klasse beigebracht bekommt, sollte man verstehen und interpretieren können, was eine Box aussagt. Im allgemeinen Fall ist eine große Box meist schlecht für meine Stichproben. Interpretation von Messergebnissen jeglicher Art ist damit also nicht nur eine Frage des Geschmacks, sondern anhand von Daten auch ablesbar.

Wie ich – wieder bei BildBlog – gelesen habe, schafft man das manchmal nicht ganz. So wird im folgenden Bild schön dargestellt, in welchem Maße die links- und rechtsextremistischen Straftaten im Laufe der Zeit abgenommen haben:

ZDF Balkendiagramme

Quelle: Bildblog - Das ZDF präsentiert die Balkendiagramme zu den Extremismus-Straftaten

Sehr interessant ist dabei natürlich, dass die relative Häufigkeit von Straftaten verglichen wird, aber nicht die absolute. „Relativ“ ist – Achtung, Klugscheißmodus – dabei vom lateinischen „relativus“ kommend und bedeutet so viel wie „sich beziehend auf“, „absolut“ von „absolutus“, also losgelöst. Bei absoluten Häufigkeiten werden also in dem Fall die Straftaten an sich betrachtet. Die relative Häufigkeit berechnet sich erst durch die Division der neuen durch die alten Zahlen.

Natürlich kann man auch die relativen Häufigkeiten vergleichen. Aber dabei geht mindestens die Aussage verloren, dass in absoluten Zahlen nur knapp ein Drittel der Straftaten linksextrem geprägt sind. Frei nach dem Leitspruch: „Traue keiner Statistik, die…“

Vielen Dank an das Team von Bildblog für den Artikel.

Netzfundstück: Statistik selbst gemacht.

Wie ich heute bei Bildblog gelesen habe, haben nicht nur Schüler so ihre Probleme mit Statistik. So wird doch tatsächlich gemutmaßt, dass eine Steigerung um 50% eine Verdopplung sei. Ähnlich wie die Aussage, dass man bei zwei möglichen Entscheidungen auch 50:50 haben muss.

Das Pascalsche Dreieck

Heute sind mir gleich bei zwei Schülern – gut, sie sind in der gleichen Klasse, da war das nicht sonderlich schwer vorauszusehen – wieder einmal die guten, alten Pascalschen Dreiecke begegnet.

Themeneinordnung: Stochastik, Wahrscheinlichkeitsbaum, Binomische Formel

Der Aufbau des Pascalschen Dreieck ist „relativ“ simpel und lässt sich meiner Meinung nach am ehesten mit einem Jahrmarktsspiel vergleichen, was ich als kleiner Junge immer unglaublich faszinierend fand:

Oben in der Mitte eines angeschrägten Brettes, in dem sich in regelmäßigen Abständen Pflöcke befinden, wird eine Münze eingeworfen. Die Münze muss sich jetzt für jeden Pflock entscheiden, ob sie nach links oder rechts weiterfällt. Ganz unten sind die Gewinnfelder, die mittleren Felder liefern die geringsten Gewinne, die äußeren Felder die höchsten. Wenn man jetzt betrachtet, wie die Münzen fallen können, findet heraus: die mittleren Felder kommen viel häufiger vor, weil es viel mehr Möglichkeiten gibt, dort hinzukommen – im Vergleich zu den Randfeldern, zu denen es immer nur eine Möglichkeit gibt pro Rand. (Glaube, ich muss mich doch mal bemühen und ein Bild dazu malen…)

Das Pascalsche Dreieck gibt genau diese Möglichkeiten an. Dabei geht es relativ einfach vor: Oben angefangen bei 1 geht es pflockweise nach unten weiter. Die Möglichkeiten der Lücken ergeben sich dann durch die Summe der „Vorentscheidungsmöglichkeiten“ der Münze.

1

1             1

1             2             1

1             3              3           1

1             4             6             4            1

Das spannende an der ganzen Geschichte: Der Wahrscheinlichkeitsbaum verteilt sich genauso bei zwei möglichen Ereignissen, beispielsweise bei der Binomialverteilung. Dabei kann man die Zeilen und „Schrägspalten“ des Dreiecks so verwenden, dass wir ab der 2. Zeile den 1. Wurf haben – entsprechend zum Wahrscheinlichkeitsbaum, der mit der ersten Astteilung anfängt. Nun kann man die Schrägspalten so lesen, dass die 1. Spalte die Anzahl der Möglichkeiten für 0 Treffer, die 2. Spalte für 1 Treffer etc. angibt. So lässt sich beim 4. Wurf in der 3. Schrägspalte der Wert „6“ auslesen – also gibt es 6 Möglichkeiten für 3 Treffer bei 4 Versuchen.

Da sich bei der Binomialverteilung jeder Pfad mit der gleichen Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, kann man nun relativ simpel die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Pfade bestimmen. Das Pascalsche Dreieck zeigt also die Einträge, die sonst mit „n über k“ ausgedrückt werden.

Interessanterweise lässt sich das Dreieck auch für die Binomischen Formeln verwenden. Dabei gilt jede Zeile als Potenz, angefangen bei (a+b)^0=1. Dabei sollte (a+b)²=a²+2ab+b² wohl noch bekannt sein. Für (a+b)³ fällt einem aber sonst so schnell nichts ein. Das Pascalsche Dreieck liefert uns aber die Antwort: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Auf diese Weise lassen sich jetzt auch Binomialfunktionen mit höherer Potenz schnell bestimmen. Man muss nur noch wissen, auf welcher Seite in Wikipedia das Pascalsche Dreieck stand…