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Kategorie-Archiv: Funktionen

Die sanfte Berührung – die Tangente

Im Bereich der Kurvendiskussion taucht meist zur Erklärung der Ableitung die Sekantensteigung auf. Diese lässt sich durch den Differenzenquotienten bestimmen: Teilt man die Differenz der y-Werte mit der Differenz der x-Werte zweier Punkte, so erhält man die relative Steigung des Graphen innerhalb des Intervalls.

m=(y2-y1)/(x2-x1)

Eine der typischen Zentralklausuraufgaben dazu lautete: „Berechnen Sie die mittlere Zunahme des Wasserbeckens innerhalb der ersten sechs Stunden.“ Im Prinzip war also nach dem Differenzenquotienten von x1=0 bis x2=6 gefragt. Im Abitur tauchen solche Aufgaben auch immer wieder auf. Verwendet man jetzt statt festgelegten Punkten einfach die Funktion an sich und berechnet dadurch die Ableitung, ergibt sich die punktuelle Steigung des Graphen als Funktion. Wir nennen das ganze auch „Ableitung“. Damit ergibt sich aber auch die interessante Möglichkeit, eine anliegende Funktion, also eine Tangente, zum Graphen zu bestimmen.

Tangenten finden in vielen Bereichen Anwendung, zum Beispiel in der Architektur, Physik, im Straßenbau… überall dort, wo an geschwungenen Linien eine gerade Konstruktion angebracht und diese auch vorher ausgerechnet werden muss.

Eiffelturm

Der Eiffelturm in Paris. Die Träger sind als Tangenten an den Bögen befestigt.

Die Berechnung einer Tangente ist relativ simpel. Ausgehend von der Ableitung lässt sich die Steigung des Punktes bestimmen.

m=f'(x0)

Da der Punkt, zu dem wir die Tangente bestimmen wollen, auf jedem Fall auch Teil der Tangente ist, setzen wir den Punkt und die Steigung in die Tangentengleichung

y=m*x+b

ein. Dadurch erhalten wir b und haben alle Unbekannte der Tangentengleichung berechnet. Hierfür lassen sich auch Aufgaben in den letzten Abitur- und Zentralklausurarbeiten finden:

  • „Bestimmen sie den Punkt mit der höchsten Steigung und bestimmen Sie diese.“ – Hier wurde also nach der Steigung am Wendepunkt gefragt.
  • „Berechnen Sie die Wendetangente.“ – also die Tangente, die am Wendepunkt anliegt.
  • „Bestimmen sie die Fläche, die durch die Tangente am Punkt P sowie die Funktion f(x) eingeschlossen wird.“ – Gut, etwas fieser, aber auch hier wird nach einer Tangentengleichung gefragt…

Wie wir sehen, sind Tangenten vielfaltig einsetzbar und eigentlich recht schnell berechnet.

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Nullstellen mal anders: Newton-Iteration

Die Nullstellenberechnung durch Substitution, Polynomdivision und andere Verfahren ist im Unterricht ja eigentlich bekannt. Da wir uns ja langsam den Schulferien nähern, möchte ich noch eine weitere Möglichkeit vorstellen, die Nullstellen zumindest relativ genau auszurechnen. Das ist in der Mathematik besonders bei Funktionen interessant, die nicht „ganz so einfach“ zu behandeln sind: Das Newtonsche Annäherungsverfahren, oder kurz: Die Newton-Iteration. „Iteration“ kommt dabei aus dem Englischen und meint soviel wie „Wiederholung“. Dabei geht man folgendermaßen vor:

Newton-Iteration

Newtons Annäherungsverfahren schön visualisiert.

Man nimmt sich einen beliebigen Punkt, möglichst nicht allzu weit entfernt von der vermuteten Nullstelle. Zu diesem berechnet man die Tangente. (Siehe anderer Artikel.) Von dieser nimmt man jetzt die Nullstelle als neuen Bezugspunkt auf dem Graphen. Wiederholt man dieses Verfahren mehrfach, nähert man sich immer weiter der Nullstelle der Zielfunktion an. Das merkt man dann meist dadurch, dass die Werte ab dem 5. oder 6. Schritt sich nur noch in den hinteren Kommazahlen verändern.

Das Verfahren ist natürlich auch super geeignet für Nullstellen bei Funktionen mit Definitionslücke, wo die theoretische Nullstelle genau auf die Lücke fällt. Natürlich auch – dank der Einfachheit des Verfahrens – sehr gerne von Matheprogrammen verwendet, weil der Algorithmus dahinter gut programmiert werden kann.