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Nullstellen mal anders: Newton-Iteration

Die Nullstellenberechnung durch Substitution, Polynomdivision und andere Verfahren ist im Unterricht ja eigentlich bekannt. Da wir uns ja langsam den Schulferien nähern, möchte ich noch eine weitere Möglichkeit vorstellen, die Nullstellen zumindest relativ genau auszurechnen. Das ist in der Mathematik besonders bei Funktionen interessant, die nicht „ganz so einfach“ zu behandeln sind: Das Newtonsche Annäherungsverfahren, oder kurz: Die Newton-Iteration. „Iteration“ kommt dabei aus dem Englischen und meint soviel wie „Wiederholung“. Dabei geht man folgendermaßen vor:

Newton-Iteration

Newtons Annäherungsverfahren schön visualisiert.

Man nimmt sich einen beliebigen Punkt, möglichst nicht allzu weit entfernt von der vermuteten Nullstelle. Zu diesem berechnet man die Tangente. (Siehe anderer Artikel.) Von dieser nimmt man jetzt die Nullstelle als neuen Bezugspunkt auf dem Graphen. Wiederholt man dieses Verfahren mehrfach, nähert man sich immer weiter der Nullstelle der Zielfunktion an. Das merkt man dann meist dadurch, dass die Werte ab dem 5. oder 6. Schritt sich nur noch in den hinteren Kommazahlen verändern.

Das Verfahren ist natürlich auch super geeignet für Nullstellen bei Funktionen mit Definitionslücke, wo die theoretische Nullstelle genau auf die Lücke fällt. Natürlich auch – dank der Einfachheit des Verfahrens – sehr gerne von Matheprogrammen verwendet, weil der Algorithmus dahinter gut programmiert werden kann.

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