KaiObis Blog

So kann mans auch sehen…

Monatsarchive: Juli 2011

Netzfundstück: Prozentrechnung live

Heute beschäftige ich mich mit der Prozentrechnung. Sie ist ein elementarer Bestandteil des Lebens – spätestens bei den großen Klamottenketten werden uns die Prozentzeichen nur so um die Ohren gehauen. Der Begriff selbst stammt aus dem Lateinischen: „pro centus“ – vom Hundert oder Hundertstel. Im Prinzip handelt es sich also um einen normierten Bruch, dessen Zähler genannt wird. 5% entspricht also fünf von hundert.

Die Prozentrechnung erleichtert es uns, Verhältnisse miteinander zu vergleichen. (siehe relative Häufigkeit) Dabei wird eine bestimmte Treffermenge durch eine Gesamtheit geteilt. Umgekehrt kann man auch Prozentmengen bestimmen, indem man den Dreisatz anwendet. Hier ein kleines Beispiel:

100% entsprechen 70.000€. | : 100

1% entsprechen 700€. | *7

7% entsprechen 4900€.

7% von 70000€ entsprechen also 4900€. Die Rechnung an sich ist also relativ simpel. Die Formel laut Tafelwerk lautet dazu: Z=K*p/100. Warum ich das alles so schön ausführe? Gestern bei der Tagesschau fiel ich leider fast vom Stuhl. Hierzu das Youtube-Video.

Werbeanzeigen

Die sanfte Berührung – die Tangente

Im Bereich der Kurvendiskussion taucht meist zur Erklärung der Ableitung die Sekantensteigung auf. Diese lässt sich durch den Differenzenquotienten bestimmen: Teilt man die Differenz der y-Werte mit der Differenz der x-Werte zweier Punkte, so erhält man die relative Steigung des Graphen innerhalb des Intervalls.

m=(y2-y1)/(x2-x1)

Eine der typischen Zentralklausuraufgaben dazu lautete: „Berechnen Sie die mittlere Zunahme des Wasserbeckens innerhalb der ersten sechs Stunden.“ Im Prinzip war also nach dem Differenzenquotienten von x1=0 bis x2=6 gefragt. Im Abitur tauchen solche Aufgaben auch immer wieder auf. Verwendet man jetzt statt festgelegten Punkten einfach die Funktion an sich und berechnet dadurch die Ableitung, ergibt sich die punktuelle Steigung des Graphen als Funktion. Wir nennen das ganze auch „Ableitung“. Damit ergibt sich aber auch die interessante Möglichkeit, eine anliegende Funktion, also eine Tangente, zum Graphen zu bestimmen.

Tangenten finden in vielen Bereichen Anwendung, zum Beispiel in der Architektur, Physik, im Straßenbau… überall dort, wo an geschwungenen Linien eine gerade Konstruktion angebracht und diese auch vorher ausgerechnet werden muss.

Eiffelturm

Der Eiffelturm in Paris. Die Träger sind als Tangenten an den Bögen befestigt.

Die Berechnung einer Tangente ist relativ simpel. Ausgehend von der Ableitung lässt sich die Steigung des Punktes bestimmen.

m=f'(x0)

Da der Punkt, zu dem wir die Tangente bestimmen wollen, auf jedem Fall auch Teil der Tangente ist, setzen wir den Punkt und die Steigung in die Tangentengleichung

y=m*x+b

ein. Dadurch erhalten wir b und haben alle Unbekannte der Tangentengleichung berechnet. Hierfür lassen sich auch Aufgaben in den letzten Abitur- und Zentralklausurarbeiten finden:

  • „Bestimmen sie den Punkt mit der höchsten Steigung und bestimmen Sie diese.“ – Hier wurde also nach der Steigung am Wendepunkt gefragt.
  • „Berechnen Sie die Wendetangente.“ – also die Tangente, die am Wendepunkt anliegt.
  • „Bestimmen sie die Fläche, die durch die Tangente am Punkt P sowie die Funktion f(x) eingeschlossen wird.“ – Gut, etwas fieser, aber auch hier wird nach einer Tangentengleichung gefragt…

Wie wir sehen, sind Tangenten vielfaltig einsetzbar und eigentlich recht schnell berechnet.

Nullstellen mal anders: Newton-Iteration

Die Nullstellenberechnung durch Substitution, Polynomdivision und andere Verfahren ist im Unterricht ja eigentlich bekannt. Da wir uns ja langsam den Schulferien nähern, möchte ich noch eine weitere Möglichkeit vorstellen, die Nullstellen zumindest relativ genau auszurechnen. Das ist in der Mathematik besonders bei Funktionen interessant, die nicht „ganz so einfach“ zu behandeln sind: Das Newtonsche Annäherungsverfahren, oder kurz: Die Newton-Iteration. „Iteration“ kommt dabei aus dem Englischen und meint soviel wie „Wiederholung“. Dabei geht man folgendermaßen vor:

Newton-Iteration

Newtons Annäherungsverfahren schön visualisiert.

Man nimmt sich einen beliebigen Punkt, möglichst nicht allzu weit entfernt von der vermuteten Nullstelle. Zu diesem berechnet man die Tangente. (Siehe anderer Artikel.) Von dieser nimmt man jetzt die Nullstelle als neuen Bezugspunkt auf dem Graphen. Wiederholt man dieses Verfahren mehrfach, nähert man sich immer weiter der Nullstelle der Zielfunktion an. Das merkt man dann meist dadurch, dass die Werte ab dem 5. oder 6. Schritt sich nur noch in den hinteren Kommazahlen verändern.

Das Verfahren ist natürlich auch super geeignet für Nullstellen bei Funktionen mit Definitionslücke, wo die theoretische Nullstelle genau auf die Lücke fällt. Natürlich auch – dank der Einfachheit des Verfahrens – sehr gerne von Matheprogrammen verwendet, weil der Algorithmus dahinter gut programmiert werden kann.

Netzfundstück: Statistik selbst gemacht II

Mal wieder ein feines Netzfundstück zur Statistik. Heute: Balkendiagramme.

Angefangen bei den Boxplot-Diagrammen, die man grob mit der Einführung der Stochastik in der 7. Klasse beigebracht bekommt, sollte man verstehen und interpretieren können, was eine Box aussagt. Im allgemeinen Fall ist eine große Box meist schlecht für meine Stichproben. Interpretation von Messergebnissen jeglicher Art ist damit also nicht nur eine Frage des Geschmacks, sondern anhand von Daten auch ablesbar.

Wie ich – wieder bei BildBlog – gelesen habe, schafft man das manchmal nicht ganz. So wird im folgenden Bild schön dargestellt, in welchem Maße die links- und rechtsextremistischen Straftaten im Laufe der Zeit abgenommen haben:

ZDF Balkendiagramme

Quelle: Bildblog - Das ZDF präsentiert die Balkendiagramme zu den Extremismus-Straftaten

Sehr interessant ist dabei natürlich, dass die relative Häufigkeit von Straftaten verglichen wird, aber nicht die absolute. „Relativ“ ist – Achtung, Klugscheißmodus – dabei vom lateinischen „relativus“ kommend und bedeutet so viel wie „sich beziehend auf“, „absolut“ von „absolutus“, also losgelöst. Bei absoluten Häufigkeiten werden also in dem Fall die Straftaten an sich betrachtet. Die relative Häufigkeit berechnet sich erst durch die Division der neuen durch die alten Zahlen.

Natürlich kann man auch die relativen Häufigkeiten vergleichen. Aber dabei geht mindestens die Aussage verloren, dass in absoluten Zahlen nur knapp ein Drittel der Straftaten linksextrem geprägt sind. Frei nach dem Leitspruch: „Traue keiner Statistik, die…“

Vielen Dank an das Team von Bildblog für den Artikel.