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So kann mans auch sehen…

Das Pascalsche Dreieck

Heute sind mir gleich bei zwei Schülern – gut, sie sind in der gleichen Klasse, da war das nicht sonderlich schwer vorauszusehen – wieder einmal die guten, alten Pascalschen Dreiecke begegnet.

Themeneinordnung: Stochastik, Wahrscheinlichkeitsbaum, Binomische Formel

Der Aufbau des Pascalschen Dreieck ist „relativ“ simpel und lässt sich meiner Meinung nach am ehesten mit einem Jahrmarktsspiel vergleichen, was ich als kleiner Junge immer unglaublich faszinierend fand:

Oben in der Mitte eines angeschrägten Brettes, in dem sich in regelmäßigen Abständen Pflöcke befinden, wird eine Münze eingeworfen. Die Münze muss sich jetzt für jeden Pflock entscheiden, ob sie nach links oder rechts weiterfällt. Ganz unten sind die Gewinnfelder, die mittleren Felder liefern die geringsten Gewinne, die äußeren Felder die höchsten. Wenn man jetzt betrachtet, wie die Münzen fallen können, findet heraus: die mittleren Felder kommen viel häufiger vor, weil es viel mehr Möglichkeiten gibt, dort hinzukommen – im Vergleich zu den Randfeldern, zu denen es immer nur eine Möglichkeit gibt pro Rand. (Glaube, ich muss mich doch mal bemühen und ein Bild dazu malen…)

Das Pascalsche Dreieck gibt genau diese Möglichkeiten an. Dabei geht es relativ einfach vor: Oben angefangen bei 1 geht es pflockweise nach unten weiter. Die Möglichkeiten der Lücken ergeben sich dann durch die Summe der „Vorentscheidungsmöglichkeiten“ der Münze.

1

1             1

1             2             1

1             3              3           1

1             4             6             4            1

Das spannende an der ganzen Geschichte: Der Wahrscheinlichkeitsbaum verteilt sich genauso bei zwei möglichen Ereignissen, beispielsweise bei der Binomialverteilung. Dabei kann man die Zeilen und „Schrägspalten“ des Dreiecks so verwenden, dass wir ab der 2. Zeile den 1. Wurf haben – entsprechend zum Wahrscheinlichkeitsbaum, der mit der ersten Astteilung anfängt. Nun kann man die Schrägspalten so lesen, dass die 1. Spalte die Anzahl der Möglichkeiten für 0 Treffer, die 2. Spalte für 1 Treffer etc. angibt. So lässt sich beim 4. Wurf in der 3. Schrägspalte der Wert „6“ auslesen – also gibt es 6 Möglichkeiten für 3 Treffer bei 4 Versuchen.

Da sich bei der Binomialverteilung jeder Pfad mit der gleichen Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, kann man nun relativ simpel die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Pfade bestimmen. Das Pascalsche Dreieck zeigt also die Einträge, die sonst mit „n über k“ ausgedrückt werden.

Interessanterweise lässt sich das Dreieck auch für die Binomischen Formeln verwenden. Dabei gilt jede Zeile als Potenz, angefangen bei (a+b)^0=1. Dabei sollte (a+b)²=a²+2ab+b² wohl noch bekannt sein. Für (a+b)³ fällt einem aber sonst so schnell nichts ein. Das Pascalsche Dreieck liefert uns aber die Antwort: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Auf diese Weise lassen sich jetzt auch Binomialfunktionen mit höherer Potenz schnell bestimmen. Man muss nur noch wissen, auf welcher Seite in Wikipedia das Pascalsche Dreieck stand…

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