KaiObis Blog

So kann mans auch sehen…

Monatsarchive: Mai 2011

Netzfundstück: Golden Numbers

Da ich ja ständig gefragt werde, wofür man „das ganze Zeug“ eigentlich braucht, weils ja „eh keinen Sinn“ hat und keine Anwendung finden kann – ich versuche dann immer, die üblichen Vergleiche zu ziehen, und scheitere zumindest in der Aussagekraft des Öfteren – und ich heute über Golden Numbers stolperte, nutze ich das mal, einige Sachen davon zu übertragen und erläutern.

Der Artikel handelt von mathematischen Modellen. Der erste Abschnitt umfasst die mehr oder minder bekannte Fibonacci-Reihe, bei der die Vorelemente stets zusammenaddiert das nächste Element ergeben. (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.. und so weiter.) Das wirklich Interessante an der Reihe ist aber ihre Verwendung in der Natur. Die zählt nämlich doch! So bauen Blumen zum Beispiel ihre Samenkörner über Doppelspiralen auf, deren Samenanzahl über die Fibonaccireihe bestimmt ist.

Der zweite Abschnitt handelt von dem von mir öfters im Unterricht erwähnten Goldenen Schnitt. Meist ziehe ich dafür das Verhältnis von Baumteilungen heran: Teilt man die Stammlänge bis zur ersten durch die Stammlänge bis zur zweiten Kreuzung, kommen dort meist Zahlen um 1.62 heraus. Dieses Verhältnis ist der besagte Goldene Schnitt. Diese Zahl findet sich auch in der Fibonacci-Reihe wider: Sie taucht bei der Division von zwei aufeinander folgenden Elementen auf: 0:1 = 0, 1:1 = 1, 2:1 = 2, 3:2 = 1,5, 8:5 = 1,6, 13:8 = 1,625… die Reihe geht dabei immer weiter gegen 1.62.

Das wichtige bei diesem Verhältnis von 1.62 ist, dass die Verwendung in der Architektur Gebilde entstehen lässt, die dem Auge „wohlgefallen“, oder anders: sie wecken in uns das Gefühl, dass sie so richtig sind. Man könnte also sagen, dass die Natur einem Plan folgt – und dieser Plan in unseren Köpfen auch Akzeptanz findet. Denkt mal an Mathe, wenn ihr durch den Wald lauft…

Sehr schön dazu auch das Video Nature by Numbers:

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Das Pascalsche Dreieck

Heute sind mir gleich bei zwei Schülern – gut, sie sind in der gleichen Klasse, da war das nicht sonderlich schwer vorauszusehen – wieder einmal die guten, alten Pascalschen Dreiecke begegnet.

Themeneinordnung: Stochastik, Wahrscheinlichkeitsbaum, Binomische Formel

Der Aufbau des Pascalschen Dreieck ist „relativ“ simpel und lässt sich meiner Meinung nach am ehesten mit einem Jahrmarktsspiel vergleichen, was ich als kleiner Junge immer unglaublich faszinierend fand:

Oben in der Mitte eines angeschrägten Brettes, in dem sich in regelmäßigen Abständen Pflöcke befinden, wird eine Münze eingeworfen. Die Münze muss sich jetzt für jeden Pflock entscheiden, ob sie nach links oder rechts weiterfällt. Ganz unten sind die Gewinnfelder, die mittleren Felder liefern die geringsten Gewinne, die äußeren Felder die höchsten. Wenn man jetzt betrachtet, wie die Münzen fallen können, findet heraus: die mittleren Felder kommen viel häufiger vor, weil es viel mehr Möglichkeiten gibt, dort hinzukommen – im Vergleich zu den Randfeldern, zu denen es immer nur eine Möglichkeit gibt pro Rand. (Glaube, ich muss mich doch mal bemühen und ein Bild dazu malen…)

Das Pascalsche Dreieck gibt genau diese Möglichkeiten an. Dabei geht es relativ einfach vor: Oben angefangen bei 1 geht es pflockweise nach unten weiter. Die Möglichkeiten der Lücken ergeben sich dann durch die Summe der „Vorentscheidungsmöglichkeiten“ der Münze.

1

1             1

1             2             1

1             3              3           1

1             4             6             4            1

Das spannende an der ganzen Geschichte: Der Wahrscheinlichkeitsbaum verteilt sich genauso bei zwei möglichen Ereignissen, beispielsweise bei der Binomialverteilung. Dabei kann man die Zeilen und „Schrägspalten“ des Dreiecks so verwenden, dass wir ab der 2. Zeile den 1. Wurf haben – entsprechend zum Wahrscheinlichkeitsbaum, der mit der ersten Astteilung anfängt. Nun kann man die Schrägspalten so lesen, dass die 1. Spalte die Anzahl der Möglichkeiten für 0 Treffer, die 2. Spalte für 1 Treffer etc. angibt. So lässt sich beim 4. Wurf in der 3. Schrägspalte der Wert „6“ auslesen – also gibt es 6 Möglichkeiten für 3 Treffer bei 4 Versuchen.

Da sich bei der Binomialverteilung jeder Pfad mit der gleichen Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, kann man nun relativ simpel die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Pfade bestimmen. Das Pascalsche Dreieck zeigt also die Einträge, die sonst mit „n über k“ ausgedrückt werden.

Interessanterweise lässt sich das Dreieck auch für die Binomischen Formeln verwenden. Dabei gilt jede Zeile als Potenz, angefangen bei (a+b)^0=1. Dabei sollte (a+b)²=a²+2ab+b² wohl noch bekannt sein. Für (a+b)³ fällt einem aber sonst so schnell nichts ein. Das Pascalsche Dreieck liefert uns aber die Antwort: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Auf diese Weise lassen sich jetzt auch Binomialfunktionen mit höherer Potenz schnell bestimmen. Man muss nur noch wissen, auf welcher Seite in Wikipedia das Pascalsche Dreieck stand…